逻辑回归深度解析

你好呀！如果说ItemCF是一位只关心商品之间"人情世故"的老掌柜，那**逻辑回归（Logistic Regression, LR）**就是一位能洞察所有蛛丝马迹的"神探夏洛克"！

这位大侦探的出现，是推荐系统发展史上的一个里程碑。因为他第一个宣告："所有信息都是线索，都对我的推理有用！"

一、核心思想：把推荐变成一场"概率破案"

逻辑回归侦探的思路非常清奇，他彻底改变了游戏规则。他不再问"A和B有多像？"，而是问一个直击灵魂的问题：

"根据我目前掌握的所有线索，这个用户，下一秒会'点击'（或'购买'）这个课程的概率，究竟是百分之多少？"

他把推荐问题，从一个"相似度计算题"，变成了一个"是/否"的概率预测题。这个概率，就是他破案的最终结论。

为了算出这个概率，逻辑回归侦探有他独门的一套"四步推理法"。我们来看看他是如何为小明同学，推理他会不会点击**"初二物理竞赛课"**的。

这是逻辑回归最强大的地方。他会像一个真正的侦探一样，不放过任何蛛丝马迹，把所有关于**用户(U)、物品(I)、场景(C)**的线索都收集起来，制作成一张"线索清单"（也就是我们的特征向量）。

线索清单示例：

侦探的经验告诉他，不同的线索，重要性天差地别。比如，"历史购买过物理课"这条线索，就比"所在城市=北京"要重要得多。

模型在训练过程中，会为每一条线索都学习到一个"重要性分数"，这个分数就叫权重 (Weight, w)。

正权重：代表这条线索是"积极信号"，会增加用户点击的可能性。
- 历史购买过物理课=是 -> 权重可能是 +2.5 (非常积极！)
负权重：代表这条线索是"消极信号"，会降低点击的可能性。
- 课程价格=5000元 -> 权重可能是 -1.8 (太贵了，有点劝退)
- 年级=初一 vs 课程难度=竞赛级 -> 这俩不匹配，也会产生负向作用。

现在，侦探要把所有线索的重要性加起来，形成一个总的"嫌疑指数"。这个过程就是一个简单的数学公式：

初步判断 (z) = (w1 * 线索1) + (w2 * 线索2) + ... + (wn * 线索n) + b

他把每条线索的"数值"乘以它的"重要性分数（权重）"，然后全部加起来，得到了一个总分z。这个z可正可负，数值可大可小。

第三步得到的总分z还很粗糙，可能等于5.8，也可能等于-10.2。但这并不是我们想要的"概率"。我们需要一个0到100%之间的概率值。

这时，逻辑回归侦探会掏出他的祖传法宝——Sigmoid函数，我们叫它"概率转换器"。

这个"概率转换器"非常神奇，像一个管道：

经过这最后一步，逻辑回归侦探就完成了一次完美的推理，给出了一个明确的概率，比如"小明同学有73%的可能性会点击这门物理竞赛课"。

逻辑回归侦探虽然能力超群，但他有一个致命的弱点：他的思维是线性的，有点"直脑筋"。

他无法自己想明白**"年轻女孩"** 和 "口红" 这两个独立的线索组合在一起时，会产生1+1 > 10的化学反应。你必须手动地创造出一个新的线索，叫做**"年轻女孩_爱_口红"**，然后喂给他，他才能理解。

这个过程，就叫人工特征交叉。在深度学习出现之前，算法工程师们每天都在绞尽脑汁地做这件事，苦不堪言。而之后的所有模型（如FM、DeepFM），几乎都是为了解决逻辑回归的这个"直脑筋"问题而诞生的。